Докладчик

Цели

Изучить модели боевых действий Ланчестера. Применить их на практике для решения задания лабораторной работы.

Вводная часть

• В противоборстве могут принимать участие как регулярные войска, так и партизанские отряды. В общем случае главной характеристикой соперников являются численности сторон. Если в какой-то момент времени одна из численностей обращается в нуль, то данная сторона считается проигравшей (при условии, что численность другой стороны в данный момент положительна).

Вводная часть

Рассмотривается три случая ведения боевых действий:

1. Боевые действия между регулярными войсками

2. Боевые действия с участием регулярных войск и партизанских отрядов

3. Боевые действия между партизанскими отрядами

Задание

Между страной Х и страной У идет война. Численность состава войск исчисляется от начала войны, и являются временными функциями x(t) и y(t). В начальный момент времени страна Х имеет армию численностью 61000 человек, а в распоряжении страны У армия численностью в 45000 человек. Для упрощения модели считаем, что коэффициенты a, b, c, h постоянны. Также считаем P(t) и Q(t) непрерывными функциями.

Задание

Постройте графики изменения численности войск армии Х и армии У для следующих случаев:

1. Модель боевых действий между регулярными войсками:

$$ {dx\over {dt}} = -0.22x(t)-0.82y(t)+2sin(4t) $$ $$ {dy\over {dt}} = -0.45x(t)-0.67y(t)+2cos(4t) $$

2. Модель ведение боевых действий с участием регулярных войск и партизанских отрядов:

$$ {dx\over {dt}} = -0.28x(t)-0.83y(t)+1.5sin(t) $$ $$ {dy\over {dt}} = -0.31x(t)y(t)-0.75y(t)+1.5cos(5t) $$

Задачи:

1. Построить модель боевых действий между регулярными войсками на языках Julia и OpenModelica
2. Построить модель ведения боевых действий с участием регулярных войск и партизанских отрядов на языках Julia и OpenModelica

Выполнение лабораторной работы

Математическая модель

Регулярная армия X против регулярной армии Y

Рассмотрим первый случай. Численность регулярных войск определяется тремя факторами:

1. Cкорость уменьшения численности войск из-за причин, не связанных с боевыми действиями (болезни, травмы, дезертирство);
2. Cкорость потерь, обусловленных боевыми действиями противоборствующих сторон (что связанно с качеством стратегии, уровнем вооружения, профессионализмом солдат и т.п.);
3. Cкорость поступления подкрепления (задаётся некоторой функцией от времени).

Математическая модель

В этом случае модель боевых действий между регулярными войсками описывается следующим образом:

$$ {dx\over {dt}} = -a(t)x(t)-b(t)y(t)+P(t) $$ $$ {dy\over {dt}} = -c(t)x(t)-h(t)y(t)+Q(t) $$

Математическая модель

В первом пункте нами рассматривается как раз такая модель. Она является доработанной моделью Ланчестера, так его изначальная модель учитывала лишь члены b(t)y(t) и c(t)x(t), то есть, на потери за промежуток времени влияли лишь численность армий и “эффективность оружия” (коэффициенты b(t) и c(t)).

Математическая модель

$$ {dx\over {dt}} = -ax(t)-by(t)+P(t) $$ $$ {dy\over {dt}} = -cx(t)-hy(t)+Q(t) $$

Именно эти уравнения и будут решать наши программы для выполнения первой части задания. В конце мы получим график кривой в декартовых координатах, где по оси ox будет отображаться численность армии государства X, по оси oy будет отображаться соответствующая численность армии Y.

Математическая модель

По тому, с какой осью пересечётся график, можно определить исход войны. Если ось ox будет пересечена в положительных значениях, победа будет на стороне армии государства X (так как при таком раскладе численность армии Y достигла нуля при положительном значении численности армии X). Аналогичная ситуация для оси oy и победы армии государства Y.

Математическая модель

Регулярная армия X против партизанской армии Y

Для второй части задания, то есть, для моделирования боевых действий между регулярной армией и партизанской армией, необходимо внести поправки в предыдущую модель. Считается, что темп потерь партизан, проводящих свои операции в разных местах на некоторой известной территории, пропорционален не только численности армейских соединений, но и численности самих партизан.

Математическая модель

$$ {dx\over {dt}} = -a(t)x(t)-b(t)y(t)+P(t) $$ $$ {dy\over {dt}} = -c(t)x(t)y(t)-h(t)y(t)+Q(t) $$

Коэффициенты a, b, c и h всё так же будут положительными десятичными числами:

$$ {dx\over {dt}} = -ax(t)-by(t)+P(t) $$ $$ {dy\over {dt}} = -cx(t)y(t)-hy(t)+Q(t) $$

Решение с помощью программ

Julia

Решить дифференциальное уравнение, расписанное в постановке задачи лабораторной работы, поможет библиотека DifferentialEquations. Итоговые изображения в полярных координатах будут строиться через библиотеку Plots.

Julia

Пишем программу для решения задач.

Результат работы программы

Результат работы программы

Анализ полученных результатов

Мною были построены графики для обоих случаев. На них получилось отрисовать модель изменения численности солдат двух войск и определить какая сторона проиграет.

Вывод

По итогам лабораторной работы я построил две модели на языке Julia, а также познакомился с уравнением Ланчестера.

Список литературы. Библиография

[1] Документация по Julia: https://docs.julialang.org/en/v1/

[2] Документация по OpenModelica: https://openmodelica.org/

[3] Решение дифференциальных уравнений: https://www.wolframalpha.com/